Să considerăm o ecuație diferențială a formulei \ (P \ stânga (\ dreapta) dx + Q \ stânga (\ dreapta) dy = 0, \] \). Fie \ [\ frac >> \ ne \ frac >>, \] atunci functia a doua variabile \ (x \) si \ (y, 1) care sunt continue intr-un domeniu \ în diferențiale complete. Cu toate acestea, putem încerca să alegem așa-numitul factor de integrare. care este o funcție de \ (\ mu \ left (\ right), \) astfel încât, după înmulțirea prin ea, ecuația diferențială se transformă într-o ecuație în diferențiale complete. În acest caz, egalitatea: \ [\ frac \ right]> \ right) >>> = \ frac \ right)> \ right) >>>. \ frac >> = P \ frac >> + \ mu \ frac >>,> \; \; >> - P \ frac >> = \ mu \ left (>> - \ frac >>> \ \] Ultima expresie este o ecuație diferențială parțială de ordinul întâi care definește factorul de integrare \ (\ mu \ left (\ right).)
Din păcate, nu există o metodă generală de identificare a factorului de integrare. Cu toate acestea, putem menționa unele cazuri particulare pentru care ecuația diferențială parțială rezultată poate fi rezolvată și, ca rezultat, determină factorul de integrare.
1. Factorul de integrare depinde de variabila \ (x: \) \ (\ mu = \ mu \ left (x \ right) \)
În acest caz avem \ (\ large \ frac >> \ normalsize = 0, \) astfel încât ecuația pentru \ (\ mu \ left (\ right) \) poate fi scrisă astfel: \ [\ frac \ frac \ left (>> - \ frac >>> \ right). \ Partea dreaptă a acestei ecuații trebuie să fie o funcție de \ (x. \) Funcția \ (\ mu \ integrarea ultimei ecuații.
2. Factorul de integrare depinde de variabila \ (y: \) \ (\ mu = \ mu \ left (y \ right) \)
În mod similar, dacă \ (\ large \ frac >> \ normalsize = 0, 1), atunci obținem o ecuație obișnuită diferențială care definește factorul de integrare \ (\ mu: \) \ [\ frac \ frac >> =\ left (>> - \ frac >>> \ right), \] unde partea dreapta depinde numai de \ (y.). Funcția \ (\ mu \ left = y}) este integrarea ecuației date.
3. Factorul de integrare depinde de o anumită combinație de variabile \ (x \) și \ (y: \) \ (\ mu = \ mu \ left (\ right)> \ right)
Noua funcție \ (\ right)> \) poate fi, de exemplu, de tipul: \ [z = \ frac, \; \; z = x + y, \] și așa mai departe.
Este important ca factorul de integrare \ (\ mu \ left (\ right) \) să fie o funcție a unei variabile \ (z: \) \ [mu] \] și se poate găsi din ecuația diferențială: \ [\ frac \ frac >> = \ frac >> - \ frac >>>>> - P \ frac >>>>.] Se presupune că partea dreaptă a ecuației depinde numai din \ (z \) și numitorul nu este egal cu zero.
Mai jos vom lua în considerare câteva exemple ale ecuației \ [P \ left (\ right) dx + Q \ left (\ right) dy = 0] pentru care putem găsi un factor de integrare. Condițiile generale pentru existența unui factor de integrare sunt deduse în teoria grupurilor Lie.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: