VIII. Probleme trigonometrice cu un parametru
Exemplul 1. Pentru toate valorile, rezolvați ecuația.
Împărțim ambele părți ale ecuației. Obținem; . Ecuația are o soluție dacă, adică, este.
Răspunsul este: când ,;
la.
Exemplul 2. Pentru toate valorile, rezolvați ecuația.
Transformăm ecuația într-o ecuație pătrată. Noi primim :, și. Vârful parabolei. Dacă e discriminant, atunci ecuația patratică are o rădăcină. Dacă, atunci ecuația patratică are o rădăcină în interval, cu condiția ca aceasta. În restul cazurilor, ecuația nu are rădăcini.
Exemplul 3. Gasiti toate valorile pentru care sistemul are o solutie.
Noi transformam sistemul in forma. Sistemul are solutii cu.
Exemplul 4. Gasiti toate valorile pentru care ecuatia
are exact 2 rădăcini pe segment.
Vom construi graficul ecuației în coordonate.
Exemplul 5. Găsiți toate valorile pentru care sistemul
Soluția ecuației :. În consecință, sistemul trebuie să aibă și o soluție pentru segment.
Inegalitatea din sistem are o soluție tăiată.
Amintiți-vă că graficul este obținut prin stoarcerea graficului de-a lungul axei în momentele cu și întinzând uneori la.
Pentru ca sistemul să fie o piesă, graficul funcției trebuie să aibă forma prezentată în figură.
Aceasta înseamnă că primul zero al funcției din partea de jos a axei trebuie să fie 2 și.
Exemplul 6. Gasiti toate valorile pentru care ecuatia
are exact 2 rădăcini.
Mai întâi, rețineți că OD3: și că ecuația are rădăcini pentru orice; . Prin urmare, ecuația nu trebuie să aibă rădăcini pe interval.
Dacă ecuația este adevărată pentru orice, atunci nu satisface condiția problemei.
Luați în considerare. Reprezentăm o posibilă versiune a graficului funcției:
Pentru a îndeplini condiția problemei, zero a funcției cea mai apropiată de origine pe partea negativă a axei trebuie să satisfacă condiția :.
Un raționament similar pentru a da un rezultat.
Exemplul 7. Gasiti toate valorile pentru care ecuatia
are exact 4 rădăcini.
Începem cu ecuația DD :; . Din moment ce numerele sunt rădăcini pentru orice, ecuația trebuie să aibă exact 2 rădăcini în interval.
Aranjamentul acestor rădăcini pe axă trebuie să fie după cum urmează:
În cadrul acestei scheme, formăm sistemul de inegalități
Scăpând inegalitățile sensului opus, obținem sistemul în consecință.
Soluția sistemului este intervalul. Rezolvarea sistemului pentru valori, primim răspunsul :.
Exemplul 8. Găsiți toate valorile pentru care inegalitatea
Convertim funcția la formular și facem o înlocuire. Avem.
Problema se reduce la următoarele: găsiți toate pentru care funcția minimă a intervalului este pozitivă.
Să luăm în considerare trei cazuri:
1. Abscisa vârfului parabolei se află la stânga punctului sau la punctul în sine :. În acest caz; ; , ținând seama de faptul că obținem :. Să examinăm pe scurt alte cazuri:
Exemplul 9. Gasiti toate valorile pentru care ecuatiile
sunt echivalente, adică au seturi coincide de soluții.
Rezolvăm a doua ecuație, făcând o substituție.
nu este potrivit pentru LDZ.
Înlocuind valorile găsite în prima ecuație, obținem. Pentru a demonstra echivalența, trebuie să rezolvăm prima ecuație pentru valorile găsite. Echivalența va fi în cazul în care soluția ecuației este doar un set. Raspuns :.
Exemplul 10. Găsiți toate valorile pentru care există o valoare pentru fiecare care satisface ecuația
Începem cu afirmația evidentă că condiția problemei este satisfăcută dacă domeniul valorilor din partea dreaptă a ecuației aparține segmentului. Pentru toți, partea dreaptă este o funcție
Prin urmare, ceea ce este adevărat în două cazuri:
1., în timp ce partea dreaptă este o funcție cu o gamă de valori.
2. Partea din dreapta este o funcție cu o gamă de valori. Raspuns :.
Găsiți toate valorile pentru care
1. ecuația are soluții. Raspuns :.
2. Ecuația are soluții. Raspuns :.
3. Ecuația are soluții. Raspuns :.
4. Ecuația are o soluție. Raspuns :.
5. Ecuația are o soluție unică asupra intervalului. Raspuns :.
6. Ecuația are o soluție. Raspuns :.
Pentru fiecare valoare, decideți
Trimiteți-le prietenilor: