Luați în considerare funcția. Această funcție se numește: integral ca o funcție a limitei superioare. Observăm mai multe proprietăți ale acestei funcții.
THEOREM 2.1. Dacă f (x) poate fi integrat pe [a, b], atunci Φ (x) este continuă pe [a, b].
Dovada. Prin proprietatea 9 a integrului definit (teorema valorii medii), obținem, de unde, pentru a obține cerința.
TEOREM 2.2. Dacă f (x) este continuă pe [a, b], atunci Φ '(x) = f (x) pe [a, b].
Dovada. Prin proprietatea 10 a integralului definit (a doua teoremă asupra mediei), avem unde c este un punct al intervalului [x, x + h]. Prin continuitatea funcției f, obținem
Astfel, Φ (x) este una dintre primitivele funcției f (x), prin urmare, Φ (x) = F (x) + C, unde F (x) este un alt antiderivativ al f (x). Mai departe, deoarece Φ (a) = 0, rezultă că 0 = F (a) + C, deci C = -F (a) și prin urmare Φ (x) = F (x) -F (a). Setarea x = b, obținem formula Newton-Leibniz
Integrarea cu piese într-un integrat definit
Într-o anumită integralitate, se păstrează integrarea prin formularea părților. În acest caz, achiziționează formularul
Înlocuirea variabilelor într-un integral integrat
Una dintre variantele rezultatelor privind variabilele variabile într-un integral integrat este următoarea.
TEOREM 2.3. Fie f (x) continuu pe intervalul [a, b] și îndeplinim următoarele condiții:
1) # 966; (# 945;) = a
2) # 966; (# 946;) = b
3) derivatul (T) este definită peste tot în intervalul [# 945; # 946;]
4) pentru toate t în [# 945; # 946;]
atunci
Dovada. Dacă F (x) primitivă f (x) dx apoi F (# 966; (t)) primitivă Prin urmare, F (b) - F (a) = F (# 966; (# 946;)) - F (# 966 (# 945;)). Teorema este dovedită.
Notă. Dacă funcția f (x) nu este continuă în condițiile din Teorema 2.3, atunci este necesar să se impună monotonicitatea funcției (T).
Un exemplu. Calculați integralele Am stabilit apoi dx = 2tdt și prin urmare
De asemenea, vă recomandăm să vă familiarizați cu posibilitatea rezolvării online a integralelor.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: