Testarea independentă

Vă mulțumim că ați citit și l-ați împărtășit altora.

Atunci când rezolvăm problemele probabiliste, trebuie adesea rezolvată situații în care același test este repetat de mai multe ori și rezultatul fiecărui test este independent de rezultatele altora. Un astfel de experiment este denumit și schema testelor independente repetate sau schema Bernoulli.







Exemple de teste repetate:

1) extragerea repetată de la urna unei mingi, cu condiția ca bilele eliminate după înregistrarea culorii lor să fie readuse în urnă;

2) repetarea aceleiași ținte de către un singur shooter, cu condiția ca probabilitatea unei lovituri reușite cu fiecare lovitură să fie aceeași (rolul vizionării nu este luat în considerare).

Deci, permiteți-vă ca rezultat al testului să existe două rezultate posibile. va apărea fie evenimentul A, fie evenimentul opus acestuia. Vom efectua n teste ale lui Bernoulli. Aceasta înseamnă că toate studiile n sunt independente; Probabilitatea apariției evenimentului $ A $ în fiecare test individual sau unic este constantă și nu se schimbă de la test la test (adică testele sunt efectuate în aceleași condiții). Indicăm probabilitatea apariției evenimentului $ A $ într-un singur test prin litera $ p $, adică $ p = P (A) $, iar probabilitatea evenimentului opus (evenimentul $ A $ nu a avut loc) este $ q = P (\ overline) = 1-p $.

Apoi, probabilitatea ca evenimentul A să apară în aceste n teste exact k ori este exprimat prin formula lui Bernoulli

$$ P_n (k) = C_n ^ k \ cdot p ^ k \ cdot q ^, \ quad q = 1-p. $$

Distribuția numărului de succese (apariția unui eveniment) se numește distribuția binomială.







Calculatoare online pentru formula Bernoulli

Exemple de soluții de probleme privind formula Bernoulli

Un exemplu. În urnă 20 de alb și 10 bile negre. Au scos 4 bile, fiecare minge scos, a revenit la urne înainte de a recupera următorul și bilele din urnă sunt amestecate. Găsiți probabilitatea ca cele patru bile eliminate să fie 2 bile albe.

Soluția. Evenimentul A - a primit o minge albă. Apoi, probabilitățile
, .
Prin formula Bernoulli, probabilitatea necesară este
.

Un exemplu. Determinați probabilitatea ca nu mai mult de trei fete să aibă o familie cu 5 copii. Probabilitatea nașterii unui băiat și a unei fete este presupusă a fi aceeași.

Soluția. Probabilitatea nașterii unei fete
, atunci.

Să găsim probabilitatea ca în familie să nu existe fete, s-au născut una, două sau trei fete:

În consecință, probabilitatea necunoscută

Un exemplu. Printre detaliile prelucrate de către lucrător, în medie 4% non-standard. Găsiți probabilitatea ca printre cele 30 de piese luate pentru testare, două să nu fie standard.

Soluția. Aici, experiența este de a testa fiecare dintre cele 30 de părți pentru calitate. Evenimentul A - "apariția detaliilor non-standard", probabilitatea lui, atunci. Din aceasta, folosind formula lui Bernoulli, găsim
.

Un exemplu. Cu fiecare împușcare separată de pistol, probabilitatea de a atinge ținta este de 0,9. Găsiți probabilitatea ca, din 20 de fotografii, numărul de succese să fie de cel puțin 16 și nu mai mult de 19.

Soluția. Calculăm conform formulei lui Bernoulli:

Un exemplu. Studiile independente continuă până se produce evenimentul A. Găsiți probabilitatea ca n încercări (n ³ k), dacă în fiecare dintre ele, sunt necesare.

Soluția. Evenimentul B - exact n procesele înainte de apariția k a evenimentului A - este rezultatul următoarelor două evenimente:

D - în cel de-al doilea test A a apărut;

C - în primele (n-1) teste A a apărut (k-1) de ori.

Teorema de multiplicare și formula Bernoulli dau probabilitatea necesară:

Trebuie remarcat faptul că utilizarea legii binomiale este adesea asociată cu dificultăți de calcul. Prin urmare, cu valori crescânde de n și m, devine util să se utilizeze formule aproximative (Poisson, Moivre-Laplace), care vor fi luate în considerare în secțiunile următoare.

Puteți comanda exemple privind teoria probabilităților







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: