Principiul maximului Pontryagin - stadopedia

Probleme privind extremumul condițional al unui funcțional cu restricții suplimentare asupra unei variabile

Principiul maxim, dezvoltat de un grup de matematicieni sovietici condusă de academicianul LS Pontrjagin este o extensie a calculului variațional clasic la cazul în care variabila suprapusă restricții suplimentare, prin care acțiunile de control pot fi discontinuități în intervalul de primul tip într-un număr finit de puncte, adică, sunt descrise prin funcții continuu în parte.







Deci, să ne amintim formularea celei de-a șase probleme tipice de gestionare. funcționalitate Dan

vector coordonate. comp.

Condițiile limită sunt cunoscute

Controlul comunicării este o descriere matematică a obiectului managementului

și constrângerile admise asupra variabilei

Necesar pentru a găsi un control al vectorului, personalizat (4) și (3), care ar corespunde extremale care trece prin punctul de delimitare (2) și livrarea extremum funcțional.

În scopul interpretării geometrice a problemei la o funcție funcțională condiționată, introducem o nouă variabilă după cum urmează

Adunând vectorul de stare k-dimensional, obținem un sistem extins de coordonate dimensionale de stare, adăugând (5) la (3), obținem un sistem extins de control al comunicării







Deci, o bară simplă peste variabila va servi drept semn al unui spațiu dimensional, linia ondulată ca semn al spațiului dimensional (n + 1). Observați același lucru, nu depinde de variabila introdusă recent.

Să presupunem că vectorul conține două variabile și apoi vectorul va corespunde punctului din spațiul tridimensional din figura 1

Indicăm prin II o linie dreaptă în spațiu care trece printr-un punct paralel cu axa. O curbă situată în plan este o soluție admisibilă a problemei pe extrema condițională a funcționalului. Este o proiecție pe plan, o curbă a cărei coordonată este determinată în orice moment de (6).

Sarcina principală a controlului optim poate fi formulată după cum urmează.

În spațiul dimensional (n + 1), sunt date punctul inițial și linia dreaptă II paralelă cu axa și trecând prin punct; printre toate ecuațiile admisibile posedând proprietatea că soluția corespunzătoare a sistemului (7) cu condiția inițială trece prin punctul liniei drepte Π, alegeți un control pentru care coordonata punctului ar avea o valoare minimă.

Reamintim că aceasta a fost o formulare geometrică a problemei funcționale condiționate.

Ne îndreptăm acum spre formularea teoremei care dă condiția necesară. Introducem variabile auxiliare care satisfac sistemul de ecuații

Sistemul de ecuații (8) se numește conjugat în raport cu sistemul (7). Sistemele de ecuații (7) și (8) pot fi combinate printr-o singură formă de scriere. În acest scop, introducem o funcție variabilă, numită "Hamiltonian"

Apoi sistemele de ecuații (7) și (8) pot fi scrise în forma:

Pentru valori fixe, funcția devine doar o funcție de control. Semnificăm prin

- supremum este limita superioară a unei funcții.

Dacă se atinge limita inferioară superioară, atunci







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: