- Rangul matricei nu se modifică dacă se aplică transformări elementare în rândul său (coloane).
- Rangul matricei pas este egal cu numărul rândurilor sale non-zero.
Metode pentru calcularea rangului unei matrice
Metoda transformărilor elementare
Folosind proprietățile matricei asociate rangului său, metoda de calcul a rangului este cea mai des utilizată în practică.
Rangul matricei este egal cu numărul de rânduri non-zero după ce matricea este redusă la o formă pas cu pas, folosind transformări elementare pe rândurile și coloanele matricei.
Metoda de încadrare a minorilor
Rangul matricei este egal cu cel mai mare ordin al minorului minor.
Dacă matricea A este găsit nenul minor k ordin M. Luați în considerare toți minorii (k + 1), inclusiv comanda -lea (flancare) Minor M; dacă toate sunt zero, atunci rangul matricei este k. În cazul în care există este non-zero, atunci întreaga procedură se repetă în rândul minorilor învecinate.
Calculați rangul matricei A, unde
Cunoașterea gradului matricei va crește rangul dvs. =)
În lecția de astăzi vom fi familiarizați cu noțiunea de rang al unei matrici algebrice. aflați cum să găsiți rangul unei matrici prin metoda de încordare a minorilor și a metodei Gauss. și, de asemenea, să ia în considerare o aplicare practică importantă a subiectului: studiul unui sistem de ecuații liniare pentru consistență.
Care este rangul matricei?
Epigrafa umoristică a articolului conține o mare parte a adevărului. Cuvântul "rang" în sine este de obicei asociat cu o ierarhie, cel mai adesea cu o scară de serviciu. Cu cât o persoană are mai multă cunoaștere, experiență, abilități, un punct de lucru, etc. - cu cât poziția și posibilitățile sale sunt mai ridicate. Exprimată în tinerețe, prin rang înseamnă gradul general de "abruptă".
Și frații noștri matematici trăiesc prin aceleași principii. Să mergem pentru câteva matrici zero arbitrare:
Ne vom gândi dacă în matrice există numai zerouri. la ce clasă putem vorbi? Toată lumea cunoaște expresia informală "zero completă". În societatea matrică totul este exact același:
Rangul matricei zero a oricăror dimensiuni este zero.
Notă: matricea zero este notată cu litera greacă "theta"
Pentru a înțelege mai bine rangul matricei, voi continua să folosesc materiale de geometrie analitică. Luați în considerare vectorul zero al spațiului nostru tridimensional, care nu specifică o anumită direcție și este inutil pentru construirea unei baze afine. Din punct de vedere algebric, coordonatele unui vector dat sunt scrise în matricea "unul câte trei" și este logic (în sensul geometric indicat) să presupunem că rangul acestei matrice este zero.
Acum, luați în considerare câțiva vectori de coloană nenuloși și vectori de rând:
În fiecare caz, există cel puțin un element non-zero și acesta este ceva!
Rangul oricărui vector de rând nonzer (vector-coloană) este egal cu unul
În general, dacă există cel puțin un element non-zero în matricea de dimensiuni arbitrare, atunci rangul său este mai mic decât unul.
Vectorii algebrici-rânduri și vectorii de coloane sunt într-o oarecare măsură abstracți, așa că din nou ne îndreptăm spre asocierea geometrică. Un vector non-zero stabilește o direcție complet definită în spațiu și este potrivit pentru a construi o bază. deci rangul matricei va fi considerat egal cu unul.
Context teoretic: vector algebra liniara - un element al spațiului vectorial (definit de axiomele 8), care, în special, poate fi un șir ordonat (sau coloana) este valabilă pentru ele dalte multiplicarea anumitor operații slozheniyai printr-un număr real. Pentru mai multe informații despre vectori, consultați articolul Transformări liniare.
Luați în considerare matricea. ale căror linii sunt dependente liniar (exprimate una prin cealaltă). Din punct de vedere geometric, coordonatele vectorului colinar sunt înscrise pe a doua linie. care nu a avansat problema în construirea unei baze tridimensionale. fiind în acest sens inutil. Astfel, rangul acestei matrice este de asemenea egal cu unul.
Rescriem coordonatele vectorilor în coloane (transpunem matricea):
Ce sa schimbat în ceea ce privește rangul? Nu face nimic. Coloanele sunt proporționale, deci rangul este unul. Apropo, rețineți că toate cele trei linii sunt, de asemenea, proporționale. Acestea pot fi identificate cu coordonatele a trei vectori coliniari ai planului, dintre care numai unul este util pentru construirea unei baze "plate". Și acest lucru este pe deplin în acord cu sensul nostru geometric de rang.
Din exemplul de mai sus, o declarație importantă urmează:
Rangul matricei în rânduri este egal cu rangul matricei de către coloane. Am menționat acest lucru puțin în lecția privind metode eficiente de calcul al determinantului.
Notă: Dependența liniară a rândurilor are ca rezultat o dependență liniară a coloanelor (și invers). Dar pentru a economisi timp și din cauza obișnuinței, voi vorbi aproape întotdeauna despre dependența liniară a liniilor.
Continuăm să ne antrenăm animalul iubit. Adăugați la matrice al treilea rând al coordonatelor unui alt vector colinar:
Ne-a ajutat să construim o bază tridimensională? Bineînțeles că nu. Toți cei trei vectori merg înainte și înapoi pe o pistă, iar rangul matricei este unul. Puteți lua cât mai mulți vectori coliniari, să zicem, 100, să-și pună coordonatele în matricea "o sută trei", iar rangul unui astfel de zgârie-nori să rămână singur.
Să ne cunoaștem matricea. ale căror rânduri sunt independente liniar. O pereche de vectori noncoliniari este adecvată pentru construirea unei baze tridimensionale. Rangul acestei matrice este de două.
Și care este rangul matricei. Linii ca nu sunt proporționale ... înseamnă, pe ideea trei. Cu toate acestea, rangul acestei matrice este de asemenea egal cu două. Am pliat primele două linii și am scris rezultatul în partea inferioară, adică exprimând liniar a treia linie prin primele două. Din punct de vedere geometric, rândurile matricei corespund coordonatelor celor trei vectori coplanari. și printre aceștia trei există și câțiva tovarăși non-coliniari.
După cum puteți vedea, dependența liniară a matricei considerate nu este evidentă și astăzi vom învăța cum să o derivăm "în apă limpede".
Cred ca multe ghicesc ce rang de matrice!
Luați în considerare matricea. ale căror rânduri sunt independente liniar. Vectorii formează o bază afină. iar rangul acestei matrice este de trei.
După cum știți, orice al patrulea, al cincilea, al zecelea vector al unui spațiu tridimensional va fi exprimat liniar în termeni de vectori de bază. Prin urmare, dacă adăugați un număr de rânduri la matrice, atunci rangul său va fi în continuare egal cu trei.
Argumentele analoage pot fi făcute pentru matrici de dimensiuni mai mari (este clar, deja fără semnificație geometrică).
Definiția. Rangul matricei este numărul maxim de rânduri liniar independente. Sau: rangul matricei este numărul maxim de coloane independente linear. Da, numărul lor coincide întotdeauna.
Din cele de mai sus, o orientare practică importantă urmează, de asemenea: rangul matricei nu depășește dimensiunea ei minimă. De exemplu, matricea are patru rânduri și cinci coloane. Dimensiunea minimă este de patru, deci rangul acestei matrici nu va depăși cu siguranță 4.
Desemnări. în teoria și practica mondială nu există un standard general acceptat pentru a desemna rangul matricei, este cel mai adesea posibil să se întâlnească: - după cum se spune, englezul scrie unul, celălalt german. Prin urmare, permiteți-ne, bazându-ne pe anecdota binecunoscută despre iadul american și rus, să denotăm rangul matricei de cuvântul nativ. De exemplu :. Și dacă matricea este "fără nume", dintre care există multe, atunci puteți doar scrie.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: