se numesc ecuațiile canonice ale liniei. Semnificația acestei ecuații este că prin forma acestei ecuații putem determina punctul prin care trece vectorul drept și direcțional al liniei drepte. După aceasta, putem scrie ecuațiile parametrice ale unei linii drepte și de la ele la ecuațiile generale ale unei linii drepte. Să presupunem, de exemplu, că ecuațiile canonice ale unei linii drepte sunt date într-o formă condiționată
Prin ecuații, constatăm că punctul prin care trece linia dreaptă este, iar vectorul de direcționare este egal cu. În consecință, ecuațiile parametrice ale liniei drepte au forma
Apoi ecuațiile generale ale liniei sunt sistemul de ecuații
Poate lua orice valoare. Linia dreaptă însăși în acest caz este paralelă cu axa.
§ 3. Trecerea de la un fel de ecuație de linie dreaptă la alta
Așa cum am arătat mai sus, ecuațiile aceleiași linii drepte pot fi scrise în cel puțin trei forme: ecuațiile generale ale liniei drepte, ecuațiile parametrice ale liniei drepte și ecuațiile canonice ale liniei. Considerăm problema tranziției de la ecuațiile unei linii drepte de un fel la ecuațiile unei linii drepte într-o altă formă.
În primul rând, observăm că dacă ecuațiile liniei sunt date în formă parametrică, atunci este dat punctul prin care trece vectorul drept și de direcționare al liniei drepte. Prin urmare, nu este greu să notăm ecuațiile unei linii drepte în forma canonică.
Sunt date ecuațiile liniei în forma parametrică
Notați ecuațiile canonice ale unei linii drepte.
Linia dreaptă trece prin punctul și are un vector de direcționare. În consecință, ecuațiile canonice ale liniei au forma
Problema trecerii de la ecuațiile canonice ale liniei drepte la ecuațiile parametrice ale liniei drepte este rezolvată în mod similar.
Trecerea de la ecuațiile canonice ale unei linii drepte la ecuațiile generale ale unei linii drepte este considerată mai jos pentru un exemplu.
Ecuațiile canonice ale liniei
Notați ecuația generală a unei linii drepte.
Scriem ecuațiile canonice ale unei linii drepte sub forma unui sistem de două ecuații
Eliminând numitorii prin înmulțirea ambelor laturi ale primei ecuații cu 6 și a celei de-a doua ecuații cu 4, obținem sistemul
Sistemul de ecuații rezultat este ecuația generală a unei linii drepte.
Să considerăm trecerea de la ecuațiile generale ale liniei drepte la ecuațiile parametrice și canonice ale liniei. Pentru a scrie ecuațiile canonice sau parametrice ale unei linii drepte, trebuie să cunoaștem punctul prin care trece linia dreaptă și vectorul de direcționare al liniei. Dacă determinăm coordonatele a două puncte u pe o linie, atunci putem lua vectorul ca vectorul de direcŃie m. Coordonatele a două puncte situate pe o linie dreaptă pot fi obținute ca soluții ale sistemului de ecuații care determină ecuațiile generale ale unei linii drepte. Ca punct prin care trece o linie dreaptă, se poate lua oricare dintre punctele u. Să ilustrăm exemplele de mai sus.
Ecuațiile generale ale liniei
Notați ecuațiile parametrice și canonice ale unei linii drepte.
Să găsim coordonatele a două puncte situate pe o linie, ca soluții ale acestui sistem de ecuații. Presupunând că obținem un sistem de ecuații
Rezolvarea acestui sistem, găsim. Prin urmare, punctul se află pe linie. Presupunând că obținem sistemul de ecuații
rezolvarea pe care o găsim. În consecință, linia dreaptă trece prin punct. Apoi, ca vector de direcționare, putem lua vectorul
Deci, linia dreaptă trece prin punctul și are un vector de direcționare. În consecință, ecuațiile parametrice ale liniei drepte au forma
Apoi ecuațiile canonice ale liniei drepte sunt scrise în formă
O altă modalitate de a găsi vectorul de direcționare al unei linii drepte conform ecuațiilor generale ale unei linii drepte se bazează pe faptul că în acest caz sunt date ecuațiile planurilor și, prin urmare, normele față de aceste planuri.
Să presupunem că ecuațiile generale ale liniei au forma
și - normale față de prima și a doua plană, respectiv. Apoi, vectorul poate fi luat ca vector de direcție al liniei. De fapt, linia, fiind linia de intersecție a acestor planuri, este simultan perpendiculară pe vectori și. În consecință, este colinală vectorului și, prin urmare, acest vector poate fi considerat vectorul de direcție al liniei. Să luăm în considerare un exemplu.
Ecuațiile generale ale liniei
Notați ecuațiile parametrice și canonice ale unei linii drepte.
Linia este linia de intersecție a planurilor cu normalele și. Luăm ca vector de direcție un vector
Să găsim un punct pe o linie. Să găsim un punct pe o linie. Lasă-l să fie. Apoi, obținem sistemul
Rezolvând sistemul, găsim. În consecință, punctul se află pe linie. Apoi, ecuațiile parametrice ale unei linii drepte pot fi scrise în formă
Ecuațiile canonice ale liniei au forma
În cele din urmă, putem trece la ecuațiile canonice prin eliminarea uneia dintre variabilele dintr-una din ecuații și apoi a altei variabile. Luați în considerare această metodă pentru un exemplu.
Ecuațiile generale ale liniei
Notați ecuațiile canonice ale unei linii drepte.
Eliminați variabila y din a doua ecuație, adăugând la ea prima, înmulțită cu patru. Avem
Acum excludem variabila de la cea de-a doua ecuație, adăugând la ea prima ecuație, înmulțită cu două. Avem
Prin urmare, obținem ecuația canonică a liniei
§4. Amenajarea reciprocă a liniilor drepte în spațiu. Unghiul dintre liniile drepte.
Pentru două linii drepte în spațiu, sunt posibile următoarele variante ale aranjamentului reciproc:
a) linii drepte coincid;
b) liniile sunt paralele;
c) liniile se intersectează;
d) crucile directe.
Luați în considerare modul în care știți că ecuațiile liniilor determină poziția lor relativă. Să presupunem că liniile sunt date de ecuațiile lor canonice
Apoi, linia dreaptă trece prin punct și are un vector de direcționare, iar linia dreaptă trece prin punct și are un vector de direcționare. Dacă liniile coincid sau sunt paralele, atunci vectorii sunt coplanari, adică există un număr astfel încât egalitatea
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: