Matematica financiară este înțeleasă ca modele și algoritmi de calcule financiare. Tranzactia financiara de baza - creditare. participanții la piață fac o afacere: creditorul oferă împrumutat un împrumut cu condiția ca data scadenței debitorul returnează împrumutul cu creditor de incrementală (procente). Situația în cel mai simplu caz, atunci când un împrumut este emis pentru un an, este prezentat în Figura 5.1.
S - împrumut cu majorare (cu dobândă);
i = = - rata anuală a dobânzii, în acest caz rata de creștere.
Să se acorde atenție incorectitudinii numelui cantității I - "procent". De fapt, eu am dimensiunea prelungirii împrumutului și măsoară în unități monetare și nu în procente. Dar aceasta este terminologia tradițională a tranzacțiilor financiare: valoarea creșterii se numește procentul sau dobânda.
De obicei, când împrumuturile fac obiectul unui acord, valoarea creditului P și rata anuală a dobânzii i. și un împrumut cu o creștere în S este o funcție a lui P și i. Exprimăm S în termenii lui P și i. S = P (1 + i). Formula de mai sus pentru S este valabilă numai pentru un termen de împrumut anual. Pentru oricare altă dată în formula trebuie să introduceți ora. În mod tradițional, calcule financiare, timpul se măsoară în ani și este luată rata anuală a dobânzii, cu toate că alte contoare de timp - trimestru, luna, ziua, care pot fi ajustate rata. Toate aceste condiții sunt stipulate în contractul de împrumut. Un împrumut poate fi emis pentru orice perioadă, de la orice dată, până la orice dată. Prima și ultima zi sunt de obicei numărate într-o singură zi. În diferite țări și chiar în diferite bănci ale aceleiași țări, perioada de împrumut în ani se calculează în moduri diferite.
t - termenul de împrumut în zile;
T - numărul de zile într-un an;
Valorile lui t și T pot fi determinate exact de calendar, sau aproximativ (rotunjite). În ultimul caz, se presupune că anul este format din 12 luni până la 30 de zile în fiecare dintre ele. Prima metodă este notată (365/365), iar cea de-a doua (360/360). Sunt posibile și metode transversale. În orice caz, atunci când obțineți un împrumut, este necesar să se precizeze în primul rând modul în care împrumutul este determinat, deoarece valoarea dobânzii depinde de aceasta.
Valoarea dobânzii depinde de mărimea împrumutului, rata dobânzii și termenul de împrumut. Distingeți între interesul simplu și compus. Simple sunt numite procente, care reprezintă o funcție liniară a timpului. Interesul complex este o funcție exponențială a timpului, în care timpul intră în exponent.
5.1. Interesul simplu
Mai sus a fost dată formula pentru majorarea cazului când împrumutul a fost emis exact pentru un an: S = P (1 + i). Rezultă formula de expansiune pentru un termen de împrumut arbitrar, măsurat în ani (figura 5.1.1).
S1 = P (1 + i) = P + Pi = P + ll.
Aplicăm metoda de inducție.
Se poate observa că interesul este o funcție liniară a timpului.
Formulele pentru calculul Sn și In au fost scrise mai sus pentru un număr întreg de ani n. Evident, ele sunt valabile pentru valori fracționare ale lui n atât mai mici decât și mai mari decât 1. De exemplu, trebuie să calculați dobânda pentru lună conform metodei aproximative (360/360). Apoi n = și I m. = Pi / 12. În consecință, dobânda pe zi prin metoda (360/360) este Pi / 360. În toate formulele, i este rata anuală a dobânzii.
În termeni considerabili ai împrumutului, uneori se aplică o rată variabilă - de exemplu. când își asumă o schimbare a ratei inflației în viitor. Luăm formula pentru un împrumut extins pentru acest caz.
t = 1. m - numărul de intervale de timp cu rate ale dobânzii diferite;
nt este durata intervalului t în ani;
este rata anuală de creștere în intervalul t.
Împrumut în rate
Rambursarea unui împrumut cu dobândă se poate face o dată la sfârșitul perioadei de împrumut sau în tranșe în această perioadă. În acest din urmă caz, trebuie să calculați suma ultimei plăți. Pentru aceasta, se folosesc două metode: actuariale și comerciant.
În Fig. 5.1.2 Este prezentată schema calculelor conform metodei actuariale, care se aplică de obicei pentru perioade de împrumut mai mari de un an.
t = 1. m - numere de plată;
nt - perioada de plată t în anii de la momentul primirii împrumutului;
i - rata anuală de creștere;
St - valoarea datoriilor acumulate la plata a treia;
Pt - soldul datoriei după plată.
Formule pentru calcule:
În orice moment, datoria acumulată este formată din două părți: partea rămasă a împrumutului P care nu a fost rambursată și dobânda acumulată și neachitată. Dacă următoarea plată este mai mică decât dobânda acumulată și neplătită, valoarea datoriei nu este redusă, iar suma de plată se adaugă la următoarea plată.
Figura 5.1.3 prezintă schema calculelor prin metoda comerciantului, care se aplică, de obicei, cu o perioadă de împrumut mai mică de un an.
t = 1. m - numărul plăților intermediare;
Rt este valoarea celei de-a treia plăți intermediare;
nt - termenul celei de-a treia plăți intermediare;
R este ultima plată.
Ideea metodei comerciantului este după cum urmează. Permiteți efectuarea unei plăți intermediare Rt în timp nt. Pe restul termenului timpului de împrumut egal cu (n - nt), dobânda acumulată, și până la sfârșitul termenului de împrumut cu dobândă, valoarea plății intermediare va fi:
Dacă astfel de plăți au fost m. apoi până la sfârșitul perioadei de împrumut se va acumula suma plăților cu dobândă.
Evident, plata finală a R ar trebui să completeze suma cumulată a plăților cu dobânzi până la valoarea împrumutului, cu dobânda acumulată din împrumut.
Înlocuind S și valorile lor, ajungem
Prin urmare, primim suma finală de plată:
Să comparăm ideile celor două metode considerate de plăți intermediare pe un împrumut. În metoda actuarială, fiecare plată reduce suma datoriei, continuă să fie percepută dobânda pentru datoria rămasă. În metoda comerciantului, fiecare plată nu reduce suma datoriei, însă se acumulează dobânzi. La sfârșitul termenului de împrumut la plata finală, valoarea datoriei acumulate și valoarea plăților acumulate ar trebui să fie egale.
Cu toate acestea luate în considerare procedura de compunere: P a emis un împrumut de-a lungul timpului a fost crescut interesul și transformat într-un împrumut cu rata dobânzii de compoundare S. determinată de raportul de interes pentru un an I la credite R. în sectorul bancar, de asemenea, se aplică procedura de scontare (contabilitate), care a ieșit din chirurgie contabilitatea facturilor. Bill - obligația de a returna suma specificată în proiectul de lege (denominarea unei facturi, o desemnează cu S), în perioada specificată. În cazul în care titularul unei facturi (proprietarul său în momentul de față) dorește să facă schimb de factură pentru bani, el solicită băncii propunerea de a lua în considerare cambia care îi este disponibilă; Cumpărați-o pentru suma de R. mai mică decât valoarea lui S. Această tranzacție se numește actualizare și valoarea reducerii de la valoarea nominală - o reducere. Schema de calcul pentru actualizare este prezentată în Figura 5.1.4 pentru un caz în care, înainte de data plății facturii, sertarul (ex. Emitentul) a lăsat un an.
S - denominația facturii;
1 an - perioada de valabilitate a proiectului de lege;
D - reducere, adică reducerea din valoarea nominală a facturilor contabile;
P este prețul facturii; suma banilor pe care vânzătorul unei facturi le primește la înregistrare.
Este ușor de observat că schema de reducere este foarte asemănătoare cu schema de construire (figura 5.1). Cantitățile P și S. D și I coincid. Diferența este că, în circuitul compoundării baza calculelor stabilite împrumuta P și returnat împrumut este calculat S. procente la reducere se bazează pe un același bancnote de valoare S (adică cantitatea returnată), iar cantitatea calculată de bani care R. va primi un vânzător de factură.
Denote: d este rata de actualizare,
O altă diferență între procedurile de contabilitate și de angajamente. Odată cu creșterea, rata i este considerată ca fiind valoarea împrumutului P. Și atunci când este actualizată, rata de actualizare d este considerată ca valoarea nominală a facturii S.
Evident, pentru valori identice ale S și P, rata de actualizare va fi mai mică decât rata de construire. Se scrie formula pentru calculul lui P pentru S și d.
Această formulă este valabilă pentru o perioadă de un an a unui proiect de lege. Să valabilitatea facturii n ani, în cazul în care n - un număr non-negativ, inclusiv fracționare. Formula pentru calcularea lui P ia forma: P = S (1 - nd). Se poate observa că n și d pot fi astfel încât nd> 1 s-ar putea dovedi mai puțin de zero. Acest lucru, desigur, este imposibil: nimeni nu va fi de acord să dea un proiect de lege și chiar să plătească pentru această sumă, egal cu S (nd -1). Prin urmare, discountul este aplicat astfel încât să existe 1> nd> 0.
Ratele nominale și reale ale dobânzii
Fie ca împrumutul P să fie emis la o rată a dobânzii i pe an. Într-un an este necesar să returnați acest împrumut cu dobândă S = P (1 + i). Dacă inflația are loc cu o rată de j. apoi într-un an, valoarea lui S se depreciază.
S n - împrumut nominal cu dobândă;
Sp - un împrumut real cu dobândă, adică puterea de cumparare SN;
r - rata reală a dobânzii;
i - rata nominală a dobânzii;
j - rata inflației.
Luând în considerare denumirile acceptate, formulele pentru construire vor avea forma:
Ultima formulă trebuie înțeleasă după cum urmează: împrumutul P pentru anul a crescut de fapt cu rata r și datorită inflației cu rata inflației j. În loc de Sn ne substituim valoarea sa:
P (1 + i) = P (1 + r) (1 + j) sau (1 + i)
Realizând transformarea, obținem:
Aceasta este formula exactă pentru calculul ratei reale a dobânzii pentru valori cunoscute ale ratei nominale a dobânzii și a ratei inflației. La rate scăzute de inflație, se folosește formula aproximativă r = i-j. Cu o inflație semnificativă, trebuie să aplicați formula exactă.
O conversie valutară este un transfer al activelor financiare de la o monedă la alta, de exemplu. transferul rublelor în dolari sau invers. În bancă puteți stoca bani pe o ruble sau depozit în valută. Ce este mai profitabil? De obicei, ratele dobânzilor la conturile rublelor sunt mai mari decât pentru moneda străină. Acest lucru se datorează faptului că rubla devalorizat din cauza inflației mai rapid decât dolarul, euro și altele. Răspunsul la întrebarea în ce monedă este mai profitabil să păstreze banii în bancă va depinde de ratele dobânzilor la depozitele rublei și în valută, precum și cursul unei schimbări de ritm moneda națională. Schema de calcul este prezentată în Fig. 5.1.5.
Întreaga operațiune este concepută pentru un an. A, B, C, D - diferite stări în timpul operației.
Săgeata AB este depozitarea banilor pe depozitul rublei.
AU - conversia rublelor în dolari, adică vânzare bancară de dolari către deponent.
CD - păstrarea banilor pe o depunere în valută.
DB - conversia de dolari în ruble.
P este suma contribuției în dolari.
SP - suma rublei a depozitului cu majorarea (cu dobândă) într-un an.
S - depozit dolar cu dobânzi într-un an.
i este rata anuală a dobânzii pentru depozitul rublei.
v este rata anuală a dobânzii pentru un depozit în valută.
bpr - rata de vânzare la momentul depunerii, adică prețul la care banca vinde dolari pentru ruble.
bpok - rata de cumpărare într-un an, i. e. pret. pe care banca cumpără dolari.
Săgețile arată formule pentru calcularea rezultatelor operațiunilor.
SP = PP (1 + i) este rezultatul menținerii banilor pe un depozit ruble în cursul anului.
- rezultatul conversiei inițiale a rublelor în dolari la rata bpr.
Sd = Pd (1 + v) este rezultatul păstrării banilor pe un depozit în valută în cursul anului.
Definim condițiile de echivalare a depozitării banilor pe ruble și depozit în valută: în acest caz, rezultatul depozitării trebuie să fie același.
5.2. Interesul compus
În cazul în care împrumutul este acordat pentru o anumită perioadă, iar dobanda se percepe o dată la sfârșitul acestei perioade, interesul simplu și compus nu se disting și împrumut acumulat va fi la fel. Efectul dobânzii compuse apare atunci când durata împrumutului este împărțit în mai multe intervale de timp, la sfârșitul fiecărui interval de rulment interes și sunt conectate la suma acumulată la începutul intervalului.
Un interes simplu se acumulează asupra sumei inițiale a împrumutului, complex - pe un împrumut cu dobândă la calcularea dobânzii. Figura 5.2.1 prezintă schema de calculare a dobânzii, atunci când un împrumut este emis pentru un număr întreg de ani, iar dobânda compusă este acumulată o dată pe an.
j - rata anuală a dobânzii compuse;
Împrumut augmentat la sfârșitul anului n;
Formula este derivată pentru întregul n. dar este valabil pentru orice număr real ne-negativ n. De exemplu. pentru o jumătate de an. dar pentru trimestru.
În practica bancară compoundare a dobânzii la depozitele făcute de mai multe ori pe an - pentru luna, trimestru, jumătate de an. În acest caz, rata intervalului trebuie să se calculeze randamentul anual, și vice-versa - la rata anuală a dobânzii este echivalentă cu rata de venit la un interval mai mic de un an. Schema de calcul este prezentată în Fig. 5.2.2.
m este numărul de intervale într-un an;
t este numărul de interval;
St - un împrumut cu o creștere la sfârșitul intervalului t;
j - eficacitatea anuală a împrumutului;
g - rata dobânzii compuse pe interval.
Pentru ca ratele j și g să fie la fel de eficace, este necesar ca egalitatea să fie îndeplinită:
P (1 + j) = P (1 + g) m;
De aici, la rata dobânzii pe interval, puteți calcula o rată egală pentru anul.
Și invers, - la o rată anuală de interes, puteți calcula o rată egală a dobânzii compuse pe interval.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: