Se spune aici că seria (53) este generată de funcția f (x), iar coeficienții a. o. bn se numesc coeficienții Fourier. În cazul în care funcția f (x) are o perioadă T = 2π, seria Fourier are forma
iar coeficienții Fourier sunt calculați din formule
Pentru funcții uniforme, seria Fourier (53) conține numai termeni
pentru funcțiile ciudate numai termenii În aceste cazuri, coeficienții Fourier sunt mai convenabili pentru a calcula prin formule
De mare importanță sunt întrebările cu privire la care x seria Fourier converge și în care caz, suma seriei la punctul x este egală cu valoarea funcției f (x) care generează această serie. Răspunsul la aceste întrebări este dat de teorema lui Dirichlet.
Funcția f (x) din intervalul [a, b] satisface condițiile Dirichlet. dacă
a) f (x) pe intervalul [a, b] este continuă sau are pe acest interval un număr finit de puncte de discontinuitate de primul tip;
b) în fiecare interval de continuitate, f (x) este monoton sau are un număr finit de puncte extreme în acest interval.
De exemplu, funcția prezentată în Fig. 22, îndeplinește condițiile Dirichlet.
Teorema lui Dirichlet. Funcția f (x), periodică cu perioada T = 2l. satisfacerea condițiilor Dirichlet pe [-l, l], poate fi extinsă într-o serie Fourier trigonometrică (53) și:
a) în fiecare punct al continuității lui x a funcției f (x) seria Fourier (53) converge la valoarea lui f (x);
b) la fiecare punct de discontinuitate xi. funcția f (x), seria Fourier (53) converge la valoare
Seria Fourier trigonometrică este un caz special de serie obținută pentru sisteme arbitrare de funcții ortogonale pe intervalul [a, b]. Și funcțiile în sine nu trebuie să fie periodice.
Considerăm un sistem de funcții n (x), n = 0, 1,2> Ortogonal pe intervalul [a, b] Seria Fourier de f (x)
Extinderea unei funcții periodice într-o serie Fourier
Conform ipotezei Fourier, nu există nici o funcție care să nu poată fi descompusă într-o serie trigonometrică. Să ne gândim cum poate fi realizată această descompunere. Următorul sistem de funcții ortonormale pe [-π, π] poate fi reprezentat:
Gândit de faptul că sistemul dat de funcții este ortonormal, o funcție arbitrară f (t) pe intervalul [π, -π] poate fi reprezentată după cum urmează:
f (t) = # 945; 0+ # 945; 1 · cos (t) + # 945; 2 · cos (2t) + # 945; 3 · cos (3t) + ... + # 946; 1 · sin (t) +.
+ # 946; 2 · sin (2t) + # 946; 3 · sin (3t) + ... (1)
coeficienţii # 945; n, Se calculează prin produsul scalar al funcției și funcție de bază din formulele considerate anterior și se exprimă după cum urmează:
# 945; 0 =
# 945; n =
# 946; n =
Expresia (1) poate fi scrisă într-o formă condensată după cum urmează:
(t) + a2 · cos (2t) + a3 · cos (3t) + ... + b1 · sin (t) + b2 · sin (2t) + b3 · sin 3t) + ... (2)
unde
Deoarece pentru n = 0 cos (0) = 1, constanta a0 / 2 exprimă forma generală a coeficientului a pentru n = 0.
Trimiteți-le prietenilor: