Colectarea de probleme în algebră

EQUACATII LINEARE SI INEQUALITATI I

§16 Teorema privind media aritmetică și media geometrică

De exemplu, pentru numerele 2 și 8 este media numerelor ca medie geometrică - √ numărul 2 • 8 = 4. Media aritmetică a numerelor 10, 10 și 80 este egală cu o medie geometrică √ 3 10 • 10 • 80 = 8000 = 3 √ 20







Pentru numerele 5, 5 și 5, media este numărul, iar media geometrică este 3 √ 5 • 5 • 5 = 5.

Rețineți că în toate cele trei cazuri, media aritmetică sa dovedit a fi nu mai mică decât media geometrică și au fost egale doar în cel de-al treilea exemplu, unde toate numerele considerate sunt egale una cu cealaltă. Și asta nu este accidental. Următoarele teoreme generale sunt valabile.

Teorema medie a numerelor aritmetice și pozitive nu este mai mică decât media geometrică a acestora:

Egalitatea în această formulă este valabilă dacă și numai dacă toate n numerele a1. a2. și sunt egale una cu cealaltă.

În secțiunea precedentă sa arătat că pentru oricare două numere pozitive a și b inegalitatea

unde semnul egalității este valabil dacă și numai dacă a = b. Aceasta dovedește teorema privind media și media geometrică a două numere pozitive. În cazul general, dovada acestei teoreme este destul de greoaie și, prin urmare, nu este dată aici.







este adevărat pentru orice număr pozitiv a și b. a fost cunoscut în antichitate. Figura 22 este dată pentru interpretarea geometrică a acestei inegalități

O generalizare a inegalității în cazul unui număr arbitrar de numere pozitive (teorema aritmetică și geometric) a fost pregătit matematician francez K o și w (1789-1857). Unele alte inegalități remarcabile sunt legate de numele acestui om de știință remarcabil, al cărui studiu, totuși, depășește programul nostru

Exemplul 1. Se dovedește că pentru orice număr a, b și c. având aceleași semne,

Într-adevăr, prin teorema privind media și media geometrică

din care urmează relația necesară.

Exemplul 2. Dovediți că pentru un număr pozitiv arbitrar o inegalitate

iar egalitatea deține doar pentru a = 1.

Aplicând teorema pe media aritmetică medie și geometrică la 100 de numere, obținem

din care urmează relația necesară. Semnul de egalitate are loc numai în cazul în care toate cele 100 de numere sunt egale una cu cealaltă, adică pentru a = 1.

Următoarea consecință importantă rezultă din teorema privind media aritmetică și media geometrică.

Corolar. Dacă produsul n numere pozitive este 1, atunci suma lor nu este mai mică. Cu alte cuvinte, dacă numerele pozitive a1. a2. și satisface condiția

din care se obține inegalitatea (1).

În practică, relația (1) este folosită în mod special pentru n = 2. Suma a două numere pozitive inverse reciproce este de cel puțin 2:

Dovediți inegalitățile (№ 121-129):

131. Care este cea mai mică valoare care poate fi acceptată de suma a 2 + b 2. dacă a + b = 2 și numerele a și b sunt pozitive?

132 *. Dovedește că pentru orice număr întreg pozitiv n







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: