Orice sistem de axiome matematice care începe cu un anumit nivel de complexitate este fie contradictoriu intern, fie incomplet.
În 1900, Paris a găzduit Conferința Mondială a matematicieni, pe care David Hilbert (David Hilbert, 1862-1943) a pus în formă de teze au fost formulat 23 peremptoriu, în opinia sa, problema de rezolvat oameni de știință teoreticienii venirea secolului al XX-lea. Sub cel de-al doilea număr din lista lui a fost una dintre acele sarcini simple, răspunsul căruia pare evident până când sapi puțin mai adânc. În termeni moderni, a fost o întrebare: este matematica autosuficientă? A doua sarcină a fost de a Hilbert strict necesar pentru a dovedi că sistemul de axiome - declarații de bază, luate ca bază în matematică, fără dovezi - perfecte și complete, adică permite să descrie matematic toate lucrurile. A fost necesar să se demonstreze că este posibil să se precizeze un astfel de sistem de axiome care, pe de o parte, sunt reciproc consecvente și, în al doilea rând, se poate deduce din ele o concluzie cu privire la adevărul sau falsitatea oricărei declarații.
Să luăm un exemplu din geometria școlii. În standard, geometria plan euclidian (geometria în plan) poate fi dovedi fără echivoc că afirmația „suma triunghi unghiurilor este egală cu 180 °» adevărat, și declarația „suma unghiurilor într-un triunghi este egală cu 137 °» fals. Dacă vorbim în esență, atunci în geometria euclidiană orice declarație este fie falsă, fie adevărată, iar a treia nu este dată. Și la începutul secolului al XX-lea, matematicienii credeau naiv că aceeași situație ar trebui să fie observată în orice sistem logic consecvent.
"Dacă putem dovedi afirmația A, atunci putem dovedi afirmația că nu" A ".
Cu alte cuvinte, dacă se poate dovedi validitatea afirmației "ipoteza 247 este de neatins", atunci se poate dovedi și valabilitatea afirmației "propoziția este probabilă". Adică, revenind la formularea celei de-a doua probleme a lui Hilbert, dacă sistemul axiomelor este complet (adică orice declarație din el poate fi dovedită), atunci este contradictorie.
Singura cale de ieșire din această situație este acceptarea unui sistem incomplet de axiome. Aceasta este, de a avea de a pune sus cu faptul că, în contextul oricărui sistem logic vom rămâne afirmații, „tip A“, care sunt cunoscute a fi adevărate sau false - și putem spune adevărul despre singurul lor de contact în afara acceptat axiomatică. Dacă nu există astfel de afirmații, atunci axiomatica noastră este contradictorie și va conține în mod inevitabil formulări care pot fi dovedite și disputate.
Astfel, formularea primei sau slabei teoreme a lui Gödel: "Orice sistem formal al axiomelor conține ipoteze nerezolvate". Dar asta nu a oprit Godel, să formuleze și să dovedească a doua, sau teoremele incompletitudinii puternice ale lui Gödel „caracterul complet logic (sau incompletitudinea) a oricărui sistem de axiome nu poate fi dovedită în cadrul sistemului. Pentru a dovedi sau respinge aceasta, sunt necesare axiome suplimentare (consolidarea sistemului). "
Ar fi mai calm să credem că teoriile lui Gödel au un caracter abstract și nu ne preocupă cu noi, ci cu zone de logică matematică sublimă, dar de fapt sa dovedit că ele sunt direct legate de structura creierului uman. Matematicianul și fizicianul englez Roger Penrose (născut în 1931) au arătat că teoriile lui Gödel pot fi folosite pentru a dovedi existența unor diferențe fundamentale între creierul uman și computer. Sensul raționamentului său este simplu. Calculatorul acționează strict logic și nu poate determina dacă A este adevărat sau fals dacă depășește axiomatica și astfel de afirmații, în mod inevitabil, conform teoremei lui Gödel. Omul, confruntat cu o astfel de afirmație logic nerealizabilă și incontestabilă, este întotdeauna capabilă să-și determine adevărul sau falsitatea - bazată pe experiența de zi cu zi. Cel puțin în acest sens, creierul uman depășește calculatorul, legat de circuite logice pure. Creierul uman este capabil să înțeleagă profunzimea adevărului conținut în teoriile lui Gödel, iar creierul computerului nu este niciodată. În consecință, creierul uman este orice, dar nu doar un calculator. El este capabil să ia decizii, iar testul Turing va avea succes.
Mă întreb dacă Gilbert a ghicit cât de departe întrebările lui ne-ar duce?
Kurt Gödel
Kurt Gödel, 1906-78
În 1930, Kurt Gödel a demonstrat două teoreme că omul înseamnă ceva în traducerea din limba matematică: Orice sistem de axiome suficient de bogat să-l folosească pentru a fi în măsură să determine media aritmetică va fi fie incomplete sau contradictorii. Nu un sistem complet înseamnă că sistemul poate formula o afirmație care nu poate fi dovedită sau respinsă prin intermediul acestui sistem. Dar Dumnezeu, prin definiție, este cauza finală a tuturor cauzelor. Din punct de vedere matematic, aceasta înseamnă că introducerea axiomei despre Dumnezeu face ca întreaga noastră axiomatică să fie completă. Dacă există un Dumnezeu, atunci orice declarație poate fi dovedită sau respinsă, referindu-se, într-un fel sau altul, la Dumnezeu. Dar, conform lui Gödel, întregul sistem de axiome este în mod inevitabil contradictoriu. Aceasta este, dacă credem că Dumnezeu există, atunci suntem forțați să ajungem la concluzia că există contradicții în natură. Și din moment ce nu există contradicții, altfel întreaga noastră lume ar fi împrăștiată din aceste contradicții, trebuie să ajungem la concluzia că existența lui Dumnezeu este incompatibilă cu existența naturii.
Prelegeri ale Școlii de Vară "Matematică Modernă", Dubna.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: