Metric tensor, spații Riemannian.
Expresia din (5.49), pe trecerea de la un sistem la altul, este transformată ca un tensor
Cu alte cuvinte, este un tensor covariant simetric al celui de-al doilea rang. Se numește tensor metric.
Există "spații în care este imposibil să se introducă un sistem de coordonate carteziene. One „spatii“ dimensionale de acest tip este suprafața unei sfere Dacă coordonatele introduceți latitudinea și longitudinea, distanța dintre două puncte infinit apropiate pe suprafața sferei este exprimată după cum urmează prin coordonate diferențialele .:
Pentru a permite o astfel de diversitate continuă în ceea ce privește problema în discuție, ia în considerare spațiul cu un tensor metric, nu locuință pe problema posibilității de a introduce în ele un sistem de coordonate cartezian. Educația, în care setul „diferential pătrat lungime“ t. E. Invariant omogenă funcție pătratică diferențialul de coordonate numit spațiu metric sau spațiu Riemann. „Dacă este posibil spațiu Riemann pentru a introduce un sistem de coordonate în care tensorul metric la fiecare punct este egal cu această Sistemul de coordonate va fi cartesian, iar spațiul este numit euclidian.
Dacă distanța infinitezimal este determinată de relație
invariabil, atunci este un tensor covariant. Dovada noastră anterioară sa bazat pe presupunerea că este egală cu expresia, cu alte cuvinte, am presupus posibilitatea introducerii unui sistem de coordonate cartezian. Pentru a arăta că proprietățile de transformare nu depind de această ipoteză, avem în vedere următoarea ecuație:
exprimând invarianța Înlocuind în stânga, obținem:
În virtutea arbitrarității, se pot echivala coeficienții de pe ambele părți ale egalității, astfel încât valabilitatea relațiilor (5.60) să fie arătată.
Dacă determinantul componentelor nu este zero, putem introduce un set de noi cantități în funcție de relații
Pentru a obține proprietățile lor transformatoare, ne transformăm mai întâi. Să le înlocuim prin expresie
apoi multiplicați ultima relație prin. În virtutea (5.59), partea dreaptă se transformă în partea stângă:
Comparația lui (5.66) cu (5.64) dă
adică ele sunt componente ale tenzorului contravariant. Acest tensor este simetric. Acest lucru poate fi demonstrat prin înmulțirea (5.64) cu. Apoi partea stângă este egală cu
în timp ce partea dreaptă se întoarce
adică vedem asta
și, comparând această relație cu (5.64), găsim
Un tensor este numit tensor metric contravariant. Valorile componentelor sale, după cum este clar din (5.64), sunt egale cu minorii împărțite de determinant
În sistemul de coordonate carteziene este
Trimiteți-le prietenilor: